筹算法（六）

图|战国中期骨算筹

河北省石家庄市平山县中山成公陪葬墓出土

河北省文物研究所藏

筹算方程

(相当于解多元一次方程组或解增广矩阵)

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一，中禾一秉，四斗四分斗之一，下禾一秉，二斗四分斗之三。

《九章算术·方程术》曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。馀如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。馀如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。

筹算方程，上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

(相当于解方程组“3x+2y+z=39,2x+3y+z=34,x+2y+3z=26”)

置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。将上禾、中禾、下禾的秉数三、二、一依次置于右列，三十九斗作为“实”置于右列。将上禾、中禾、下禾的秉数二、三、一依次置于中列，三十四斗作为“实”置于中列。将上禾、中禾、下禾的秉数一、二、三依次置于左列，二十六斗作为“实”置于左列。

以右行上禾遍乘中行。以右列“上禾”位遍乘中列各数。

而以直除。以右列首位除中列首位，得二，故以中列各数减右列各数之二倍，使中列首位为零。

又乘其次。以右列“上禾”位遍乘左列各数。

亦以直除。右列首位与左列首位相等，故以左列各数减右列各数，使左列首位为零。

然以中行中禾不尽者遍乘左行。以中列“中禾”位遍乘左列各数。

而以直除。以中列首位除左列首位，得四，故以左列各数减中列各数之四倍，使中列首位为零。

左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。“法”为三十六，“下禾之实”为九十九。

求中禾，以法乘中行下实。“法”为三十六，乘中列之“实”二十四，得八百六十四。

中列，以一乘“下禾之实”九十九，得九十九，为此列“下禾之实”。

而除下禾之实。中列，“实”减此列“下禾之实”得七百六十五。

馀如中禾秉数而一，即中禾之实。以中列之“实”除以中禾秉数五，得百五十三，为“中禾之实”。

求上禾亦以法乘右行下实。“法”为三十六，乘右列之“实”三十九，得千四百零四。

右列，以一乘“下禾之实”九十九，以二乘“中禾之实”百五十三，为此列“下禾之实”与“中禾之实”。

而除下禾、中禾之实。右列，“实”减此列“下禾之实”、“中禾之实”，得九百九十九。

馀如上禾秉数而一，即上禾之实。以右列之“实”除以上禾秉数三，得三百三十三，为“上禾之实”。

实皆如法。以“下禾之实”、“中禾之实”、“上禾之实”，各除以“法”三十六。

各得一斗。算得，上禾一秉，九又四分之一斗，中禾一秉，四又四分之一斗，下禾一秉，二又四分之三斗。

原文赏析

今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一。

术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。

——《九章算术·方程》